【導讀】根據您在涉及圓柱形底座的其他物理領域的經驗，您可能已經正確猜測
，當導線具有圓形橫截麵時，方程 1 的(de)答(da)案(an)應(ying)包(bao)括(kuo)貝(bei)塞(sai)爾(er)函(han)數(shu)。對(dui)於(yu)我(wo)們(men)總(zong)是(shi)試(shi)圖(tu)為(wei)不(bu)同(tong)現(xian)象(xiang)開(kai)發(fa)簡(jian)單(dan)模(mo)型(xing)的(de)工(gong)程(cheng)師(shi)來(lai)說(shuo)，這(zhe)不(bu)是(shi)一(yi)個(ge)好(hao)消(xiao)息(xi)。貝(bei)塞(sai)爾(er)函(han)數(shu)可(ke)用(yong)於(yu)模(mo)擬(ni)各(ge)種(zhong)物(wu)理(li)問(wen)題(ti)

，從(cong)圓(yuan)柱(zhu)形(xing)物(wu)體(ti)的(de)熱(re)傳(chuan)導(dao)到(dao)描(miao)述(shu)鼓(gu)皮(pi)等(deng)圓(yuan)形(xing)薄(bo)膜(mo)的(de)振(zhen)動(dong)。然(ran)而(er)，它(ta)們(men)可(ke)能(neng)很(hen)難(nan)可(ke)視(shi)化(hua)，並(bing)且(qie)顯(xian)然(ran)比(bi)簡(jian)單(dan)的(de)指(zhi)數(shu)衰(shuai)減(jian)正(zheng)弦(xian)波(bo)要(yao)簡(jian)單(dan)得(de)多(duo)。

圓柱形導體中的電流分布

我們可以求解良導體的麥克斯韋方程組，找到電流密度 J 的以下微分方程：

$$ abla ^2 J = j omega mu sigma J$$

等式 1。

如果您對向量微積分概念感到生疏，那麼可怕的符號 ? 2  （Del 平方）被稱為拉普拉斯算子。簡而言之
，拉普拉斯算子是多維空間中二階導數概念的推廣。它由下式給出：

$$ abla ^2 = frac{partial^2 }{partial x^2} + frac{partial^2 }{partial y^2} + frac{partial^2 }{partial z^2}$$

等式2。

方程 1 miaoshuleliangdaotizhongdedianliufenbu。taduiyudaodianbankongjianhejuyouyuanxinghengjiemiandedaoxianjunyouxiao。raner
，womenzhenduizheliangleimeitihuodedejiejuefanganshiwanquanbutongde。duiyudaodianbankongjian
，dianliumidushiyigejiandandezhishushuaijianzhengxianhanshu（如果我們假設我們正在處理平麵波）。但是圓柱形導體呢？ 

根據您在涉及圓柱形底座的其他物理領域的經驗
，您可能已經正確猜測，當導線具有圓形橫截麵時，方程 1 的(de)答(da)案(an)應(ying)包(bao)括(kuo)貝(bei)塞(sai)爾(er)函(han)數(shu)。對(dui)於(yu)我(wo)們(men)總(zong)是(shi)試(shi)圖(tu)為(wei)不(bu)同(tong)現(xian)象(xiang)開(kai)發(fa)簡(jian)單(dan)模(mo)型(xing)的(de)工(gong)程(cheng)師(shi)來(lai)說(shuo)

，這(zhe)不(bu)是(shi)一(yi)個(ge)好(hao)消(xiao)息(xi)。貝(bei)塞(sai)爾(er)函(han)數(shu)可(ke)用(yong)於(yu)模(mo)擬(ni)各(ge)種(zhong)物(wu)理(li)問(wen)題(ti)，從(cong)圓(yuan)柱(zhu)形(xing)物(wu)體(ti)的(de)熱(re)傳(chuan)導(dao)到(dao)描(miao)述(shu)鼓(gu)皮(pi)等(deng)圓(yuan)形(xing)薄(bo)膜(mo)的(de)振(zhen)動(dong)。然(ran)而(er)，它(ta)們(men)可(ke)能(neng)很(hen)難(nan)可(ke)視(shi)化(hua)，並(bing)且(qie)顯(xian)然(ran)比(bi)簡(jian)單(dan)的(de)指(zhi)數(shu)衰(shuai)減(jian)正(zheng)弦(xian)波(bo)要(yao)簡(jian)單(dan)得(de)多(duo)。

由於這些函數的複雜性，我們不會詳細分析分析的數學細節，而僅查看Simon Ramo 所著的《通信電子學中的場和波》一書中提供的結果。圖 1 顯示了四種不同頻率下 1 毫米直徑圓線橫截麵電流分布的歸一化幅度。 

圖 1. 圓形導線中電流分布的歸一化幅度。圖片由S. Ramo提供

上圖中的參數r 0表示導線的半徑。在頻率 ( f ) 為 1 kHz 時，集膚深度約為導體半徑的 4.2 倍（或等效 r 0 /δ = 0.239）。正如您所看到的，在這種情況下電流分布幾乎是均勻的。

隨著頻率增加，趨膚深度減小，並且比率r 0 /δ從1kHz處的0.239增加至1MHz處的7.55。請注意，即使對於r 0 /δ=2.39，導線中心處的電流密度也幾乎是導體表麵處的電流密度的一半。這與集膚效應的簡化描述不一致，集膚效應指出電流密度在δ深度處降低至其表麵值的e -1 =0.37。

圖 2 將 r 0 /δ=2.39 和 r 0 /δ=7.55的實際電流分布與電流密度的指數衰減分布（對應於導電半空間中的波傳播）進行了比較。正如您所看到的，隻有當導體的曲率半徑遠大於趨膚深度時，半空間情況的結果才能用於近似圓線中的實際電流分布。

圖 2. 實際電流分布與平行平麵公式的比較。圖片由S. Ramo提供

根據經驗

，如果導體的所有曲率半徑和厚度至少比趨膚深度大 3-4 倍bei，我wo們men假jia設she給gei定ding的de導dao體ti類lei似si於yu半ban無wu限xian塊kuai。到dao目mu前qian為wei止zhi
，在zai這zhe個ge由you兩liang部bu分fen組zu成cheng的de係xi列lie中zhong
，我wo們men依yi靠kao求qiu解jie麥mai克ke斯si韋wei方fang程cheng組zu來lai描miao述shu集ji膚fu效xiao應ying的de一yi些xie重zhong要yao的de特te征zheng。通tong過guo觀guan察cha法fa拉la第di感gan應ying定ding律lv如ru何he在zai導dao體ti內nei部bu產chan生sheng渦wo流liu
，可ke以yi對dui這zhe種zhong效xiao應ying有you更geng深shen入ru（也許更有用）的了解。有了這種洞察力，我們就可以更好地理解不同互連的行為方式。

法拉第感應定律和渦流

根據法拉第定律，變化的磁場會在導線中感應出電動勢（從而產生電流）。圖 3(a) 中簡單而熟悉的實驗說明了該定律的基本思想。通過將磁鐵靠近電線環，電線中會產生感應電動勢
，從而產生感應電流。

圖 3.改變磁場會在導體中感應出電流

感應電動勢與通過電路的磁通量的時間變化率成正比。此外
，感應電流往往與初產生感應電流的原始磁通量的變化相反（楞次定律）。

圖 3(b) 顯示了當磁鐵靠近線圈時產生的感應磁通量。感應磁場的方向是試圖保持原始磁通量不發生變化。 

什麼是渦流？

正zheng如ru變bian化hua的de磁ci場chang可ke以yi在zai環huan路lu中zhong感gan應ying出chu電dian流liu一yi樣yang，當dang將jiang大da塊kuai金jin屬shu置zhi於yu變bian化hua的de磁ci場chang中zhong時shi
，它ta也ye可ke以yi在zai大da塊kuai金jin屬shu中zhong產chan生sheng循xun環huan電dian流liu。這zhe些xie循xun環huan電dian流liu稱cheng為wei渦wo流liu，如ru圖tu 4 所示。

圖 4. 在導電平麵中產生渦流。圖片由Sciencefacts提供

zaicizhuyiganyingdianliudefangxiang。jiashexianquandecichangyansuomiaohuidefangxiangzengjia
，zeganyingchunishizhenfangxiangdedianliuyichanshengyuxianquandeyuanshicichangdebianhuaxiangfandecichang。

載流導體內的渦流

當(dang)電(dian)流(liu)流(liu)過(guo)電(dian)線(xian)時(shi)，會(hui)在(zai)電(dian)線(xian)內(nei)部(bu)和(he)外(wai)部(bu)產(chan)生(sheng)磁(ci)場(chang)。對(dui)於(yu)交(jiao)流(liu)電(dian)流(liu)
，導(dao)線(xian)內(nei)部(bu)有(you)一(yi)個(ge)隨(sui)時(shi)間(jian)變(bian)化(hua)的(de)磁(ci)場(chang)，根(gen)據(ju)法(fa)拉(la)第(di)定(ding)律(lv)，導(dao)線(xian)內(nei)部(bu)會(hui)產(chan)生(sheng)渦(wo)流(liu)。如(ru)下(xia)圖(tu) 5 所示。

圖 5.交流電流在電線中感應出渦流。

keyikanchu，woliuzaidaotibiaomianfujinyanzhudianliufangxiangliudong，danzaidaotineibuyanxiangfanfangxiangliudong。yinci，kaojindaotibiaomianliudongdezongdianliuzengjia，erliuguodaotigengshencengdedianliujianshao。 

導體中的電流擁擠

yinggaizhuyideshi，daotidemouxiebiaomiankenengbiqitabiaomiangengyouxiaodichengzaijiaoliudianliu。weilelijiezheyidian，qinghuixiangyixiawomenshangmiandetaolun，bianhuadecichanghuidaozhijifuxiaoying。xianzai，ruguodaotidetedingbiaomianchudecichanggengqiang
，womenkeyiyuqigaibiaomianjiangchengzaigengdabufendedianliu。liru
，kaolvtu 6 中所示的微帶線的橫截麵。

圖 6.參考平麵上微帶線導體的橫截麵。

圖 6 顯示了微帶線中電場和磁場的一般模式以及粗略的電流分布。請注意
，這不是模擬結果。這隻表明行為粗暴！

您是否注意到磁場更加集中在走線的底麵和地平麵之間？因此，微帶線的底麵比其頂麵承載更多的電流。例如，大約 60% 的電流可能集中在線路橫截麵區域的深色陰影區域。由於相鄰載流導體的影響而導致電流聚集在特定表麵的現象稱為鄰近效應。

並行線路中的電流擁擠

當處理兩根平行的圓柱形線時
，觀察到類似的效果（圖 7）。在該圖中，兩個導體中的電流方向相反
，因此導線之間的磁場強。結果，當前的人群聚集在彼此相對的表麵上。

圖 7. 平行線的電流擁擠和鄰近效應。圖片由J. Davis提供

矩形導體中的電流擁擠

有趣的是
，即使對於孤立的電線（沒有鄰近效應），導體的所有表麵也可能不會承載相同量的電流。例如
，細而寬的矩形導體的電流分布如圖 8 所示。如您所見
，垂直表麵的電流密度大於水平表麵。這是因為這些表麵具有更強的磁場。

圖 8. 細矩形導線中的電流分布。圖片由Thomas H. Lee提供

方形導體中的電流擁擠

從上麵顯示的薄矩形導體的結果中，您也許能夠猜測方形導體的電流分布是什麼樣的。圖 9 顯示了方形橫截麵導體中的電流擁擠情況。四個角的電流密度。 

圖 9. 方形導體的電流分布。圖片由艾倫·佩恩提供

不要忘記頻率對當前擁擠的影響

正zheng如ru我wo們men在zai本ben文wen開kai頭tou附fu近jin討tao論lun的de那na樣yang，電dian流liu分fen布bu和he趨qu膚fu深shen度du是shi頻pin率lv的de函han數shu。當dang然ran，電dian流liu擁yong擠ji也ye取qu決jue於yu交jiao流liu信xin號hao的de頻pin率lv。直zhi流liu信xin號hao不bu會hui出chu現xian電dian流liu擁yong擠ji
，並bing且qie會hui隨sui著zhe頻pin率lv的de增zeng加jia而er增zeng加jia（直到某個點）。 

youyudianliuyongji，daotihuizaoshouercixiaoying，xuyaozaishijiyingyongzhongkaolv。daotideyouxiaodianzukenengbiwomenjiashehengdingdianliufenbushigenggao。dianliuyongjihaihuidaozhidaotizhongdereliangheyinglizengjia。dangninchuangjianshiyongshibianxinhaodexinshejishi，shizhongkaolvwoliuhedianliuyongjiduidianluxingnengdeqianzaiyingxiang。

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