運算放大器從有限增益單極放大器近似為無限增益單極運算放大器，推導出跨阻放大器電路的增益，如圖1所示。
 

 

圖1：一個看似簡單的電路隻有兩個器件：運算放大器和反饋電阻。

 

從第一部分得知
，推導增益即跨阻抗為：

 

 

 

極點是：

 

 

 

放(fang)大(da)器(qi)增(zeng)益(yi)使(shi)我(wo)們(men)有(you)機(ji)會(hui)將(jiang)控(kong)製(zhi)理(li)論(lun)應(ying)用(yong)於(yu)電(dian)路(lu)。這(zhe)個(ge)例(li)子(zi)將(jiang)說(shuo)明(ming)控(kong)製(zhi)理(li)論(lun)在(zai)理(li)解(jie)電(dian)路(lu)動(dong)態(tai)特(te)性(xing)時(shi)的(de)重(zhong)要(yao)性(xing)和(he)實(shi)用(yong)性(xing)。逐(zhu)步(bu)實(shi)施(shi)，而(er)不(bu)是(shi)一(yi)股(gu)腦(nao)全(quan)堆(dui)進(jin)來(lai)，希(xi)望(wang)這(zhe)樣(yang)能(neng)夠(gou)對(dui)控(kong)製(zhi)技(ji)術(shu)及(ji)其(qi)應(ying)用(yong)方(fang)式(shi)有(you)深(shen)入(ru)了(le)解(jie)。

 

極點對（二次）多項式通常表示為：

 

 

 

放大器的諧振時間常數τn = 1/ωn = 1/(2 x π x fn)和阻尼ζ分別為：

 

 

 

當ζ<1時，極點變為複數極點對
，極角為：

 

 

 

對於實極點，ζ > 1且φ = 0。

 

對於恒定組（或包絡）時延（最大平坦包絡延遲/MFED或貝塞爾）響應，相位隨頻率線性減小
，並且發生在φ = 30o的極角處。所有頻率的時延都是相同的，保持波形不變。然後：

 

 

 

對於跨阻放大器MFED響應：

 

對於臨界阻尼（沒有過衝的最快階躍響應）

，ζ = 1且τT = 4 x τi或fT = fi/4。兩個極點都是fi/2。

 

隨著RR變大、fi減小
，放大器在vix中顯示出更大的過衝。在某種程度上
，這對於Z-meter是有利的，因為極角φ = 45°，阻尼ζ = cos(φ) = cos(45o) ≈ 0.707
，並且頻率（或幅度）響應是恒定或平坦的，接近帶寬頻率。這就是最大平坦幅度（MFA）頻率響應。對於穩態（頻域）應用
，MFA響應是最佳的。對於具有理想階躍響應的瞬態（時域）應用
，MFED響應是最佳的。（在示波器垂直放大器的設計中，優化兩種響應的標準是衝突的。）

 

 

慢運放具有低fT且τT >> τi，導致兩個實極點離得比較遠。在極限值：

 

 

這是原點和fi處的極點。fT必須足夠小以保持fT << fi。然而，隨著fT減小
，環路增益減少，可能不足以維持容許的運算放大器增益誤差。在這種情況下，精度需要一定的速度。

 

隨著運放fT的增加，Zm的阻尼減小
，穩定性降低。對於給定的ς和fi：

 

 

 

若fT = 1MHz且G0 = 105

，則fG = 10Hz
，並且臨界阻尼回路(ζ = 1)的fi = 40Hz。假設Ci = 10pF,那麼RR = 398MΩ，這樣對於任何較小的值都可以保持fi > 40Hz。

 

圖2顯示了閉環極點隨著fT（更快的運放）的增加而移動的情況。在原點和fi(–1/τi)處的分離極點在fi/2(此時π = 1)處聚集在一起
，然後變為複數極點對。隨著fT增加
，極角增加並且ζ減小。放大器變得不穩定，響應更加振蕩。

 

 

圖2：閉環極點隨著fT的增加而移動。

 

隻要變化的參數（圖2中的fT或τT）同時出現在多項式的s2和s項中，圖中就會顯示極點移動的位置或軌跡。放大器在無限fT時阻尼最小，當τT → 0s時極點位置在極限值：

 

 

 

在jxω軸上有兩個值，其響應是穩定的（而不是振蕩的）：原點和±jx ∞處。兩者都是無限的
，(Zero(0)是無窮小的)。當τT → 0s時，極點多項式的s中的兩個項接近零，留下恒定的1項，並且不受頻率影響。在極限情況下，極點位於jxω軸上
，ζ= 0（振蕩器的條件）,但在s的有限值處，它們的幅度為零。極點頻率很高，阻尼不再重要。它們與fi相xiang距ju太tai遠yuan而er不bu會hui影ying響xiang環huan路lu動dong態tai。這zhe是shi理li想xiang運yun算suan放fang大da器qi的de條tiao件jian。因yin此ci，我wo們men可ke以yi得de出chu結jie論lun
，對dui於yu非fei常chang慢man或huo非fei常chang快kuai的de運yun算suan放fang大da器qi，極ji點dian是shi充chong分fen分fen離li的de，以yi使shi響xiang應ying穩wen定ding。隻zhi有you在zaifT的範圍內，這時運算放大器和Ci極點太靠近，阻尼在足夠低的極點頻率fn處過度降低
，同時放大器中發生幅度相當大的振蕩。

 

再回到跨阻放大器，如果運算放大器幾乎是理想的，也就是說，速度快到τT ≈ 0s，則極點多項式大約為1。對於足夠快的運算放大器，fT >> fi，而且極點分開
，就會有穩定的環路。為了提供額外的阻尼，使運算放大器fT（和環路增益）不會過低，電容器Cf需要通過RR分流。然後用包含Cf的電路代數計算：

 

 

 

極點對參數為：

 

 

 

Cf的作用是在二次係數中將τf加到τi，更重要的是加到線性項中的τT，這會增加阻尼。因為τi = τT，所以：

 

 

 

對於臨界阻尼
，設π = 1;那麼τT = (3 + 2 x √2) x τi ≈ 3.414 x τi且τn ≈ 1.848 x τi。如果沒有Cf（Cf = 0pF），如先前所計算的
，τT = 4 x τi。若有Cf，在相同的動態響應下，運算放大器可以更快，即具有更高的G0並實現更高的精度。

 

頻率響應幅度和相位是：

 

 

對於理想的快速運算放大器(τT = 0s)並且當Cf = Ci(τf = τi)時，在頻率fg(或ωg)處具有響應：

 

 

 

如果fi = 10 x fg
，那麼幅度誤差≈0.5％。因為fi = 10 x fg，相位誤差 ≈ 6o。相(xiang)位(wei)誤(wu)差(cha)對(dui)頻(pin)率(lv)效(xiao)應(ying)比(bi)對(dui)幅(fu)度(du)誤(wu)差(cha)更(geng)敏(min)感(gan)。這(zhe)在(zai)阻(zu)抗(kang)計(ji)電(dian)路(lu)設(she)計(ji)中(zhong)很(hen)重(zhong)要(yao)，有(you)時(shi)在(zai)光(guang)電(dian)探(tan)測(ce)放(fang)大(da)器(qi)中(zhong)也(ye)很(hen)重(zhong)要(yao)，因(yin)為(wei)光(guang)電(dian)探(tan)測(ce)波(bo)形(xing)要(yao)與(yu)一(yi)些(xie)其(qi)它(ta)波(bo)形(xing)同(tong)步(bu)。

 

 

對於一些帶跨阻放大器的Z-meter（ZM）設計，RR要足夠大，即10MΩ或更大。當RR變得非常大時，要得到期望的阻尼，分流Cf必須很小，並且電阻分流寄生電容還可能過大。為了避免這個問題，可以使用以下電路代替。

 

圖3：使用該電路避免電阻分流寄生電容過大。

 

要讓運算放大器成為高增益單極運算放大器
，G ≈ –1/s x τT（參見本係列文章第一部分有關G的推導）。反饋分頻器傳遞函數是：

 

 

 

且τf = RR x Cf。當電路用Rp = R1||R2求解時：

 

 

理想運算放大器(τT = 0s)的Zm降低到：

 

 

 

對於Rp = 0Ω，跨阻進一步降低至：

 

 

如果在輸出與RR和Cf之間插入快速×1緩衝放大器
，則R1和R2分壓器輸出電阻不需要太小(Rp << RR)。那麼當Rp = 0Ω且運算放大器具有τT時：

 

 

 

該電路與沒有輸出分頻器的情況有兩個不同：RR和τT都有效地增加了1/Hdiv。

 

 

 

通tong過guo本ben文wen兩liang部bu分fen的de闡chan述shu可ke以yi看kan出chu
，即ji使shi是shi隻zhi有you兩liang個ge器qi件jian的de簡jian單dan電dian路lu也ye可ke能neng涉she及ji複fu雜za的de動dong態tai推tui導dao。設she計ji人ren員yuan有you時shi會hui避bi免mian使shi用yong這zhe些xie推tui導dao來lai減jian少shao數shu學xue計ji算suan的de麻ma煩fan，但dan是shi使shi用yong這zhe些xie公gong式shi可ke以yi更geng好hao地di了le解jie給gei定ding電dian路lu在zai各ge種zhong條tiao件jian下xia的de性xing能neng表biao現xian。我wo們men介jie紹shao的de跨kua阻zu放fang大da器qi分fen析xi可ke為wei這zhe樣yang的de電dian路lu設she計ji提ti供gong一yi個ge模mo板ban
，並bing提ti供gong如ru何he分fen析xi放fang大da器qi動dong態tai特te性xing的de指zhi導dao性xing示shi例li。

 

不要因為立方或更高次多項式而拒絕使用s域(yu)代(dai)數(shu)來(lai)解(jie)決(jue)電(dian)路(lu)動(dong)態(tai)問(wen)題(ti)。我(wo)們(men)在(zai)本(ben)實(shi)例(li)中(zhong)遇(yu)到(dao)了(le)一(yi)個(ge)立(li)方(fang)項(xiang)，但(dan)沒(mei)必(bi)要(yao)去(qu)解(jie)它(ta)
，因(yin)為(wei)通(tong)過(guo)簡(jian)化(hua)可(ke)將(jiang)多(duo)項(xiang)式(shi)降(jiang)為(wei)二(er)次(ci)方(fang)程(cheng)
，方(fang)便(bian)以(yi)後(hou)的(de)分(fen)析(xi)計(ji)算(suan)。這(zhe)種(zhong)情(qing)況(kuang)很(hen)常(chang)見(jian)，因(yin)為(wei)電(dian)路(lu)在(zai)設(she)計(ji)階(jie)段(duan)常(chang)常(chang)被(bei)模(mo)塊(kuai)化(hua)，它(ta)們(men)要(yao)麼(me)彼(bi)此(ci)隔(ge)離(li)
，要(yao)麼(me)通(tong)過(guo)受(shou)控(kong)端(duan)口(kou)阻(zu)抗(kang)進(jin)行(xing)受(shou)控(kong)交(jiao)互(hu)。設(she)計(ji)中(zhong)可(ke)以(yi)應(ying)用(yong)模(mo)板(ban)方(fang)案(an)，但(dan)通(tong)常(chang)限(xian)於(yu)s域中的二次方程。