頻率f的原始定義是每秒出現的次數，可用以衡量機械運動、電信號、乃至任何事件重複出現的頻度，這當然不存在有“負”的概念。當用頻率描述圓周運動時（即進入了二維信號平麵），產生了角頻率 ω”的概念，從機械旋轉運動出發
，定義為角速度，對於周期運動，角速度也就是角頻率。通常 θ以反時針為正，因此轉動的正頻率是反時針旋轉角速度
，負頻率就是順時針旋轉角速度。正
、負號是非常自然形成的，沒有物理意義的有無問題。電的單位向量（電壓或電流）圍繞原點的轉動，可以用表示，這是在電路中都清楚的。θ的正負所代表的物理意義從未有什麼爭議，它的導數的de物wu理li意yi義yi不bu言yan自zi明ming，取qu正zheng取qu負fu都dou不bu影ying響xiang定ding義yi，為wei什shen麼me取qu負fu就jiu會hui失shi去qu物wu理li意yi義yi了le呢ne？在zai信xin號hao與yu係xi統tong課ke程cheng中zhong
，為wei了le簡jian化hua問wen題ti，便bian於yu初chu學xue者zhe掌zhang握wo概gai念nian，開kai宗zong明ming義yi地di把ba研yan究jiu範fan圍wei限xian定ding於yu實shi 信 號 f(t) 
， 也就是在電壓旋轉向量中
，隻研究它在實平麵或虛平麵上的一個投影 sin(ωt)或 cos(ωt)，研究複信號的特性與隻研究實信號 

 

sin(ωt)或 cos(ωt) 是兩個不同的層次。前者是反映信號在空間的全麵特性，如圖1 所示。後者隻研究了信號在一個平麵（x-t或y-t組成的平麵）上投影的特性。這就必然要丟掉一些重要的信息
，以致 x=sin(ωt) 與sin(-ωt)在x-t平麵中的波形沒有任何差別，這是人們對負頻率的意義產生疑問的直接原因之一。很顯然，在x-t或y-t的平麵內，是不可能看出旋轉的。既看不到θ，更看不到ω。隻有在x-y平麵上才能看到這兩個旋轉參數。

 

 

 

同樣，用ejtω或 sin(ωt)或 cos(ωt)作(zuo)為(wei)核(he)來(lai)做(zuo)傅(fu)立(li)葉(ye)變(bian)換(huan)所(suo)得(de)的(de)結(jie)果(guo)也(ye)是(shi)前(qian)者(zhe)全(quan)麵(mian)，後(hou)者(zhe)片(pian)麵(mian)。對(dui)實(shi)信(xin)號(hao)做(zuo)傅(fu)立(li)葉(ye)變(bian)換(huan)時(shi)
，如(ru)果(guo)用(yong)指(zhi)數(shu)為(wei)核(he)，將(jiang)得(de)到(dao)雙(shuang)邊(bian)頻(pin)譜(pu)。以(yi)角(jiao)頻(pin)率(lv)為(wei)Ω的餘弦信號為例，它有具有位於±Ω兩處的、幅度各為 0.5、相角為零的頻率特性。它的幾何關係可以用圖2表示。兩個長度為 0.5 的向量，分別以±Ω等速轉動，它們的合成向量就是沿實軸方向的餘弦向量。而沿虛軸方向的信號為零。可見必須有負頻率的向量存在
，才可能構成純 粹的實信 號 。 所以歐公式是有其明確的幾何意義（即物理意義）的。在文獻[1]中給出了動畫
，並給出了正
、負數字頻率的幾何解釋。

 

 

 

正餘弦信號中包括正負雙邊頻譜，不僅有物理意義，而且具有重要的工程價值。

 

1）二相異步電機的設計

 

根(gen)據(ju)這(zhe)個(ge)概(gai)念(nian)
，可(ke)以(yi)用(yong)兩(liang)路(lu)在(zai)空(kong)間(jian)正(zheng)交(jiao)的(de)實(shi)信(xin)號(hao)來(lai)構(gou)成(cheng)旋(xuan)轉(zhuan)電(dian)磁(ci)場(chang)
，設(she)計(ji)電(dian)動(dong)機(ji)。上(shang)麵(mian)給(gei)出(chu)了(le)單(dan)位(wei)餘(yu)弦(xian)波(bo)在(zai)正(zheng)負(fu)兩(liang)個(ge)頻(pin)率(lv)上(shang)有(you)幅(fu)度(du)相(xiang)等(deng)，相(xiang)角(jiao)均(jun)為(wei)零(ling)的(de)兩(liang)根(gen)譜(pu)線(xian)
；同樣，單位正弦波在同樣正負兩個頻率上也有幅度相等的譜線，不過它們的相角分別為±π/2。用立體圖表示如圖 3(a)。

 

如(ru)果(guo)把(ba)正(zheng)弦(xian)和(he)餘(yu)弦(xian)兩(liang)個(ge)信(xin)號(hao)的(de)正(zheng)頻(pin)率(lv)成(cheng)分(fen)設(she)計(ji)得(de)相(xiang)等(deng)相(xiang)反(fan)，則(ze)把(ba)它(ta)們(men)合(he)成(cheng)以(yi)後(hou)，就(jiu)隻(zhi)剩(sheng)下(xia)負(fu)頻(pin)率(lv)成(cheng)分(fen)
，它(ta)就(jiu)構(gou)成(cheng)一(yi)個(ge)單(dan)純(chun)負(fu)向(xiang)旋(xuan)轉(zhuan)的(de)電(dian)信(xin)號(hao)。為(wei)此(ci)可(ke)以(yi)把(ba)正(zheng)弦(xian)信(xin)號(hao)在(zai)空(kong)間(jian)上(shang)轉(zhuan)動(dong)π/2，使它的正頻率譜線恰好與餘弦信號的正頻率譜線反向
，這樣兩個信號的合成（見圖3(b)）就jiu成cheng為wei一yi個ge隻zhi有you負fu頻pin率lv譜pu線xian的de信xin號hao
，當dang然ran它ta在zai時shi域yu必bi然ran是shi複fu數shu信xin號hao。常chang用yong的de二er相xiang異yi步bu電dian機ji就jiu是shi這zhe樣yang負fu向xiang轉zhuan動dong的de。而er要yao使shi該gai電dian機ji正zheng轉zhuan，則ze要yao使shi兩liang者zhe的de負fu頻pin率lv成cheng分fen互hu相xiang抵di消xiao，隻zhi保bao留liu其qi正zheng頻pin率lv成cheng分fen。

 

 

2）通信領域中的 Hilbert 變換

 

實信號的雙邊頻譜是對稱的。如果它的單邊頻帶寬 W
，考慮到負頻率成分，實際占的頻譜區域就是±W
，所以通信中要傳輸這樣的信號就需要占用 2W的頻帶寬度。為了節省頻帶
，人們就發明了 Hilbert 變換，它可以把信號的正頻率頻譜移相-90°，把負頻率頻譜移相90°

，然後再將這個信號移相90°與原信號相加

，使兩者的負頻率成分互相抵消，正頻率成分加倍

，構成一個沒有負頻率頻譜的複信號,（如同上麵所說的二相異步電機那樣）。這個複信號的帶寬就隻占 W 了。用這個方法，使頻帶節約了一半。在這裏，可以看到負頻率成分的重要性，在傳送信號時。

它是不可或缺的部分。另外
，也看到負頻率成分與複信號的密切關係。 
 

3）產生任意的平麵運動軌跡 
 

文獻[5]曾zeng提ti出chu根gen據ju傅fu立li葉ye反fan變bian換huan原yuan理li產chan生sheng平ping麵mian運yun動dong軌gui跡ji的de方fang法fa。從cong上shang麵mian歐ou拉la公gong式shi的de幾ji何he意yi義yi不bu難nan得de知zhi

，傅fu立li葉ye反fan變bian換huan公gong式shi其qi實shi表biao示shi了le多duo個ge頻pin譜pu旋xuan轉zhuan向xiang量liang的de合he成cheng，這zhe些xie向xiang量liang的de頻pin率lv規gui定ding了le它ta信xin號hao的de實shi部bu
，在zai y軸上的投影是信號的虛部。

 

不難設計出一個程序來演示這個過程，在[2,3]中編寫了一個MATLAB 程序，程序名為 exn941。它把四個集總頻譜合成起來。假如給出這些頻譜分量如下：

 

a(1) = 1， ω(1) = 1； a(2) = 1， ω(2) = －1； a(3) = 0.5，ω(3) = 3；a(4) = 0.5
，ω(4) = －4
；

 

在此處

，為了顯示複信號
，有意把輸入頻譜設成不對稱的

，見圖5(d)。於是讀者將看到四節杆的運動動畫，並得到杆係及其末端在複平麵上的軌跡（圖4）
，改變了比例尺後為圖 5 (a)。將它在x，y兩方向的投影與時間軸的關係畫在圖5(b)和(c)中，就得到信號與係統課程中常見的實信號曲線。

 

 

輸入頻譜的幅度可以是負數，也可以是虛數，甚至可以是複數
，它不僅反映了頻譜的大小，還反映了該向量的起始相位
；頻(pin)譜(pu)的(de)頻(pin)率(lv)則(ze)隻(zhi)能(neng)是(shi)有(you)正(zheng)負(fu)號(hao)的(de)實(shi)數(shu)，正(zheng)頻(pin)率(lv)和(he)負(fu)頻(pin)率(lv)以(yi)及(ji)在(zai)該(gai)頻(pin)率(lv)上(shang)頻(pin)譜(pu)的(de)意(yi)義(yi)在(zai)此(ci)不(bu)言(yan)自(zi)明(ming)。讀(du)者(zhe)可(ke)以(yi)做(zuo)各(ge)種(zhong)各(ge)樣(yang)的(de)試(shi)驗(yan)。例(li)如(ru)當(dang)兩(liang)組(zu)頻(pin)率(lv)具(ju)有(you)倍(bei)頻(pin)關(guan)係(xi)時(shi)，得(de)到(dao)的(de)是(shi)周(zhou)期(qi)信(xin)號(hao)，如(ru)果(guo)頻(pin)率(lv)比(bi)是(shi)無(wu)理(li)數(shu)
，那(na)將(jiang)得(de)出(chu)非(fei)周(zhou)期(qi)的(de)信(xin)號(hao)；另外，這樣的演示隻適用於集總頻譜，對於分布的頻譜密度，就要把它想象為若幹小的集總頻譜的疊合。

 

總之有了這樣的形象演示，可以大大擴展時域信號與頻域譜之間關係的思維空間。

 

4）多普勒頻率

 

多普勒頻率又是一個負頻率的實例
，如果信號的發射源向我們運動而來，那麼多普勒頻率就是正頻率；如ru果guo信xin號hao的de發fa射she源yuan向xiang我wo們men遠yuan離li而er去qu，那na麼me多duo普pu勒le頻pin率lv就jiu是shi負fu頻pin率lv，在zai這zhe裏li正zheng負fu頻pin率lv都dou是shi有you明ming確que物wu理li意yi義yi的de。多duo普pu勒le頻pin率lv雖sui是shi一yi種zhong差cha頻pin
，它ta表biao現xian為wei合he成cheng信xin號hao的de包bao絡luo頻pin率lv，因yin此ci仍reng然ran符fu合he上shang述shu的de原yuan理li，在zai實shi信xin號hao域yu隻zhi能neng求qiu出chu多duo普pu勒le頻pin率lv的de大da小xiao，但dan檢jian測ce不bu出chu它ta的de正zheng負fu。要yao得de到dao負fu頻pin率lv
，必bi須xu從cong複fu信xin號hao域yu考kao慮lv。可ke見jian，不bu懂dong得de這zhe一yi點dian，就jiu無wu法fa找zhao到dao多duo普pu勒le測ce速su的de原yuan理li框kuang圖tu。

 

5）機械工程領域的應用

 

關於二維信號的傅立葉變換，國內早已有學者將其應用於工程領域，參見文獻[4]、 [5]。這些都是說明頻譜中負頻率物理意義的實際例證。

 

 

pinpuzhongfupinlvchengfendewuliyiyiwangwangbuweimouxierenmenlijie，qizhuyaoyuanyinshitamenwangjileshixinhaopingmianneiyanjiuwentidejuxianxing。yinweizaixinhaoyuxitongkechengzhongyanjiudexinhaotongchangzhixianyushixinhao。congshixinhaodex-t的de波bo形xing圖tu上shang根gen本ben看kan不bu出chu頻pin率lv的de轉zhuan向xiang和he正zheng負fu
，頻pin率lv隻zhi能neng表biao現xian為wei每mei秒miao信xin號hao重zhong複fu的de次ci數shu。分fen不bu清qing正zheng負fu就jiu以yi為wei是shi正zheng頻pin率lv，隻zhi是shi一yi種zhong習xi慣guan性xing的de思si維wei方fang法fa而er已yi。

 

歸根到底，轉角和頻率的正負，必須在x-y平ping麵mian或huo二er維wei信xin號hao中zhong才cai能neng觀guan察cha到dao。因yin為wei觀guan察cha的de方fang法fa不bu對dui，看kan不bu到dao其qi意yi義yi，從cong而er否fou認ren它ta的de存cun在zai
，這zhe是shi認ren識shi論lun上shang的de錯cuo誤wu
，不bu是shi科ke學xue的de方fang法fa。這zhe就jiu和he“瞎子摸象”的故事所說的那樣

，摸象腿的人否認象有鼻子
，毛病出在他的驗證方法。他老想在象腿（實信號域）上找到象鼻子（負頻率）
，當然也永遠找不到。正確的方法是必須換一個角度
，摸別的部位（複信號域）
，才能得到全麵的知識。

 

某些學者不承認負頻率是由於把“頻率是每秒鍾循環的次數”dechenjiugainianjueduihua，qishipinlvdegainianshibuduanfazhanchongshide。meimiaocishudegainianzhinengcucaodiyanjiuxinhaowaibuxingtai，wufashejixinhaomeizhouqineibudexiweiboxingtezheng，erzheqiahaoshifuliyebianhuanderenwu。congtadeheyijingkeyiqingchudikandao
，zhengshitabingqi（或發展）了原始的頻率定義，采用了角頻率的概念。單位是弧度/秒，而且具有明確的方向和正負號。其實頻率的概念還在繼續發展
，進入到數字信號處理時又進一步出現了數字頻率
，它的單位是弧度（去掉了分母上的“秒”），取值範圍是[-π，π]。它的物理意義已變為兩次采樣時刻之間向量轉過的角度，在文獻[1]中對此有詳細的說明。如果停留在“每秒次數”的舊概念上，那“數字信號處理”也就無法發展了。

 

 

這個問題是從教學中提出的，作者在旁聽“信號與係統”課程時，在老師的幻燈片上看到了 “關於雙邊譜，負頻率隻有數學意義，沒有物理意義”的提法。我們覺得這是個錯誤，而且恐怕不是個別老師的想法。回來一查，果然如此，很多相當權威的主流教材上都這麼寫。

 

其實，“×××隻有數學意義，沒有物理意義”這樣的“命題”誰(shui)也(ye)沒(mei)有(you)證(zheng)明(ming)過(guo)，也(ye)是(shi)無(wu)法(fa)證(zheng)明(ming)的(de)，它(ta)最(zui)多(duo)隻(zhi)能(neng)算(suan)是(shi)猜(cai)想(xiang)。隻(zhi)要(yao)有(you)一(yi)個(ge)反(fan)例(li)就(jiu)可(ke)被(bei)推(tui)翻(fan)，本(ben)文(wen)已(yi)經(jing)舉(ju)出(chu)了(le)多(duo)個(ge)反(fan)例(li)，說(shuo)明(ming)它(ta)是(shi)完(wan)全(quan)錯(cuo)誤(wu)的(de)。教(jiao)師(shi)絕(jue)不(bu)該(gai)把(ba)錯(cuo)誤(wu)的(de)猜(cai)想(xiang)說(shuo)成(cheng)真(zhen)理(li)，更(geng)不(bu)能(neng)寫(xie)在(zai)書(shu)上(shang)和(he)幻(huan)燈(deng)片(pian)上(shang)去(qu)誤(wu)導(dao)學(xue)生(sheng)。數(shu)學(xue)是(shi)更(geng)抽(chou)象(xiang)
、gengshenkedimiaoshuwulixianxiangdegongju，erwulishishizhengdekexue。xianyutiaojian，renmenwangwangzanshihairenshibudaoshuxuedinglidewuliyiyi。shuxuechaoqianwulishikexueshishangduocichuxiandexianxiang，biruxushu、非歐氏幾何等。這時應該努力去理解它，認識它
，而不是輕易地放棄它、否定它。自己沒想通，沒找到的事物
，不能說它不存在。給學生講課時，隻能說“我們目前還沒有想通×××的物理意義”。這才能表明教師在科學上的嚴肅和謙遜，也有助於培養學生的科學鑽研和創新精神。

 

 

討tao論lun這zhe個ge問wen題ti
，不bu僅jin是shi理li論lun上shang的de探tan討tao，對dui於yu提ti高gao教jiao學xue質zhi量liang是shi有you重zhong大da意yi義yi的de。今jin天tian，信xin息xi技ji術shu如ru此ci的de發fa展zhan，很hen大da程cheng度du是shi由you於yu深shen入ru大da量liang地di開kai發fa頻pin譜pu資zi源yuan的de結jie果guo。在zai同tong學xue剛gang進jin入ru這zhe個ge資zi源yuan庫ku的de時shi候hou，我wo們men要yao引yin導dao他ta們men對dui這zhe個ge寶bao藏zang發fa生sheng極ji大da的de興xing趣qu

，非fei常chang珍zhen惜xi這zhe個ge寶bao藏zang
，去qu深shen鑽zuan，去qu挖wa掘jue它ta的de每mei一yi點dian潛qian力li。不bu能neng為wei了le省sheng事shi，為wei了le堵du住zhu學xue生sheng的de好hao奇qi提ti問wen
，輕qing率lv地di
、haowugenjudiyijuhuajiubapinpudefupinlvbanbianrengdiaole。zairumendeshihou
，dangranbukenengbabenwenshuodegainiantongtongguanshugeixuesheng
，yaoshunxujianjin。danlaoshishouxianyaoyougengkuanguangdezhishimianhegengkexuedesiweifangfa，jiaochudexueshengdecaihuijubeigengduodexiangxianglihechuangzaoxing。

 

作者：陳懷琛,方海燕 西安電子科技大學

 

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