零極點補償器(Pole-zero compensator)changyongyuxiuzhengfankuifangdaqihuiludefuduhexiangwei。zhepianwenzhangchaochulejiaokeshubiaozhundejieshichengdu
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零極點補償器可以是超前-滯後或滯後-超前補償器。它們經常出現在電路和控製理論教科書中。最常見的無源電路補償器有三個器件：兩個電阻和一個電容。圖1所示的電路放置在放大器內方便的位置
，尤其是在反饋回路中，以提供額外的相位或高頻幅度“加重”。

 

圖1：典型的無源電路補償器。

 

該電路本質上是個RC分頻器

，增加了與C並聯的電阻R1。R1、C組合的阻抗為：

 

 

那麼，傳遞函數就是分壓器公式：

 

 

第一個因子是準靜態(0 + Hz)增益
，即沒有C的分壓器。動態或頻率相關因子在ωz =–1/R1C處有一個零點；在ωp =–1/(R1 || R2)C處有一個極點。

 

當使用波特(Bode)或頻率響應圖時，使用頻率ω的大小(即其絕對值)，負號被丟棄。

 

但是
，請記住，波特圖上的極點和零點頻率不是正極點和零點——通常不是，但如果是的話，它們在圖示上仍然是正的。

 

由於並聯電阻的阻值比R1低
，所以它們也具有較低的時間常數和較高頻率。極點頻率比零點高。

 

隨著頻率從低值開始增加
，零點開始在低於ωz約十分之一的地方產生正向(超前)相位，它以45o/dec的線性增加
，直到ωz為+ 45°。然後再高十倍，達到+90o
；其在ωz的每一側都有十倍的相位影響。

 

類似，極點在ωp周圍有±10倍的相位相等範圍，但在ωp的每一側以–45o/dec線性地貢獻負(滯後)相位。在ωp，極點的相位貢獻是–45o。(極點或零點相位線性近似的最大誤差約為±6o。)

 

如果ωp > ωz超過二十倍，則極點與零點之間不存在相位的相互作用，可以實現從零點開始的完整的+ 90°相位。

 

零點相位超前位於回路增益幅度||GH||=1附近，位於回路的橫向或單位增益或交叉頻率fT處。

 

對於||GH||< 1
，回路沒有足夠的反饋幅度(與正弦波幅度相同)來維持振蕩。

 

反饋電路中的常見問題是相位滯後或延遲過大，以及回路周圍的相移(回路增益GH)太接近-180°(-π，以弧度表示)。回路中添加補償器以加大正相位。這增加了相位裕度
，即給定頻率與-180°(回路振蕩處)之間的回路相位差。

 

因此，一般的反饋設計目標是在fT處將回路相位保持在-180°以上，以實現正相位裕度。

 

理想情況下

，補償器隻應貢獻零點而沒有極點，但實際的模擬電路總是產生不少於零點的極點。(在係統級
，通過並聯電路、有方法可以規避這種情況
，例如在PID補償器中。而在柏拉圖式的理想DSP世界中，可以無極點地編程零點，但不能實時實現！)

 

超前-滯後補償器有一個不需要的極點伴隨著所需的零點。使用該電路進行補償設計的挑戰是將零點放置在需要額外(正)相位的位置，同時將極點放置在對回路動態性能無關宏旨的較高頻率處，高於fT十倍以上是不錯的選擇。

 

為分離極點和零點，必須通過使R2 < < R1來分開時間常數。然而，這也使得分頻器準靜態增益 < < 1。是利是弊，取決於回路。對於由準靜態回路增益太大導致振蕩(或循環過度)的回路，GH0不僅會產生零點增加相位，而且由分頻器引起的GH0的減小會使波特幅度曲線向下。因幅度隨頻率下降，fT經由移動到圖2中左側(如圖2所示)而降低——下降到相位延遲不那麼大且回路更穩定的位置。

 

圖2：使用補償器後的波特圖變化。

 

另一方麵，如果回路的極點太多
，但又必須保持回路增益以滿足精度(準靜態誤差)要求
，則超前-滯後補償器不是合適的補救措施。 零點可以用來消除不需要的極點

，但頻率更高的補償器極點仍存在。

 

實際上，補償器隻是將回路極點轉移到更高頻率，盡管不超過十倍。 這有時太過微不足道。

 

因此，當額外的零點和減小的準靜態增益都有利於控製時，最好使用超前-滯後補償器。

 

 

接著反饋回路的零極點補償器繼續講，並提出了一些教科書中通常看不到的方法。 雙(dual)RC超前-滯後補償器是RL超前-滯後補償器，如下所示，其傳遞函數為：

 

 

不采用並聯-R極點，雙重補償器采用串聯-R極點
、時間常數τp=L/(R1+R2)；而零點時間常數為τz = L/(R2)。極點的串聯-R大於零點的
，在時間常數的分母中

，極點頻率較大：對於RC超前-滯後電路
，ωp>ωz。

 

圖3：雙重補償器電路圖。

 

用電容來實現電路通常比用電感更合適，但有個有趣的例外：即當電感由晶體管和電阻合成時
，如圖4所示。

 

圖4：電感由晶體管和電阻合成的補償器及其高頻等效電路。

 

在fβ(β(s)開始滾降)和fT(β(s)=1)之間
，是晶體管的高頻(hf)區域，其中基極阻抗在發射極旋轉+ 90°。

 

在該hf區域中的基極電阻RB采用如右側所示的等效電路(並聯RL)，其中電感值取決於BJT的速度(由fT表示)
，並在表述L的公式中用作τT
，其中τT = 1/ωT = 1/2 x π x fT。

 

該等效電路可方便地用於在高頻區補償的超前-滯後補償器。它與L被RB分流的無源版本不同。

 

當為傳遞函數求解該hf等效電路時：

 

 

該電路有一個零點和一個極點，極點/零點頻率之比為：

 

 

通過R1>>R2分開極點和零點。(接近或在同一頻率上的極點和零點是雙重點(doublet))。其對準靜態增益產生的效果與對無源電路的相同。RB影響極點和零點的位置，並在頻率上移動極點和零點。極點和零點被限製在高頻區域
，或者當回轉(gyration)停止在該區域之外時
，L“消失”。在fβ以下，僅為RB/(β0+1)。

 

該主題的一個變化如下所示，采用了並聯L、R2，而非串聯。

 

圖5：變化後的補償器電路。

 

RL超前-滯後補償器的傳遞函數為：

 

 

它與RC補償器在形式上的類似處在於都具有並聯-R極點，不同處在於在原點(origin)有零點。零點和極點頻率分別為ωz=–1/(L/R1)和ωp=–L/[R1||R2]；其中零點頻率是零點增益達到一時的頻率。利用了相同的一般考慮。

 

圖6：有源補償器及其高頻等效電路。

 

滯後-超前補償器通過安置ωp<ωz以降低低頻下的回路增益，然後當fT接近以-1雙對數斜率穿越fT的平穩過渡時
，將幅度響應從零點展開(flare out)。相同的有源器件電感合成可用於合成有源滯後-超前電路。