濾lv波bo是shi一yi種zhong我wo們men往wang往wang視shi為wei當dang然ran的de常chang見jian過guo程cheng。我wo們men在zai打da電dian話hua時shi，接jie收shou器qi濾lv除chu其qi它ta所suo有you信xin道dao
，使shi我wo們men僅jin僅jin接jie收shou到dao特te定ding的de信xin道dao。當dang我wo們men調tiao節jie立li體ti聲sheng係xi統tong的de均jun衡heng器qi時shi，利li用yong帶dai通tong濾lv波bo器qi選xuan擇ze性xing增zeng大da或huo降jiang低di特te定ding頻pin帶dai的de音yin頻pin信xin號hao。

濾波器在幾乎所有數據采樣係統中扮演著重要角色。大多數模/數轉換器(ADC)都安裝有濾波器，濾除超出ADC範圍的頻率成分。有些ADC在其結構本身上就具有濾波功能。

我們接下來討論數據采樣係統
、濾波要求以及與混疊的關係。

背景

數shu據ju采cai樣yang係xi統tong能neng夠gou高gao精jing度du處chu理li的de最zui大da頻pin率lv成cheng分fen稱cheng為wei其qi奈nai奎kui斯si特te極ji限xian。采cai樣yang率lv必bi須xu大da於yu或huo等deng於yu輸shu入ru信xin號hao最zui高gao頻pin率lv的de兩liang倍bei。如ru果guo違wei反fan該gai規gui則ze，在zai有you用yong頻pin帶dai內nei就jiu會hui出chu現xian多duo餘yu或huo有you害hai的de信xin號hao，稱cheng之zhi為wei“混疊”。

例如，為了數字化1kHz信號，要求最低采樣率為2kHz。在實際應用中，采樣率通常較高，以提供一定的裕量，降低濾波要求。

為幫助理解數據采樣係統和混疊，我們以傳統的電影攝影為例。

在(zai)西(xi)部(bu)老(lao)片(pian)中(zhong)，當(dang)馬(ma)車(che)加(jia)速(su)時(shi)，車(che)輪(lun)正(zheng)常(chang)加(jia)速(su)轉(zhuan)動(dong)，然(ran)後(hou)看(kan)起(qi)來(lai)車(che)輪(lun)速(su)度(du)卻(que)變(bian)慢(man)了(le)，再(zai)然(ran)後(hou)似(si)乎(hu)停(ting)止(zhi)了(le)。當(dang)馬(ma)車(che)進(jin)一(yi)步(bu)加(jia)速(su)時(shi)，車(che)輪(lun)看(kan)起(qi)來(lai)像(xiang)在(zai)倒(dao)轉(zhuan)。實(shi)際(ji)上(shang)
，我(wo)們(men)知(zhi)道(dao)馬(ma)車(che)沒(mei)有(you)倒(dao)走(zou)，因(yin)為(wei)其(qi)它(ta)動(dong)作(zuo)都(dou)一(yi)切(qie)正(zheng)常(chang)。什(shen)麼(me)原(yuan)因(yin)造(zao)成(cheng)了(le)這(zhe)種(zhong)現(xian)象(xiang)？答(da)案(an)就(jiu)是(shi)：幀速率不夠高

，不足以準確捕獲車輪的轉動。

為幫助理解，假設在馬車車輪上貼一個看得到的標記，然後車輪轉動。然後我們按時間拍攝照片(或采樣)。由於電影攝影機通過每秒捕獲一定數量的照片來捕獲動作
，所以本質上是數據采樣係統。就像膠片采用車輪的離散圖像一樣，ADC捕獲的是運動電信號的一係列快照。

當馬車首次加速時
，采樣率(電影攝影機的幀速率)yuanyuangaoyuchelundezhuansu，suoyimanzunaikuisitetiaojian。shexiangjidecaiyanglvgaoyuchelunzhuansudeliangbei，suoyinenggouzhunquemiaoshuchelundeyundong，womenkandaochelunjiasudeyangzi(圖1a和1b)。

在奈奎斯特極限下，我們在180度範圍內看到兩個點(圖1c)。人眼一般很難明確分辨這兩個點的時間，這兩個點同時出現
，車輪表現為停止。在這種車輪轉速下，轉動速率是已知的(根據采樣率)，但搞不清楚轉動方向。當馬車繼續加速時
，不再滿足奈奎斯特條件，看到車輪的方式可能有兩種：我們“看到”車輪在正轉，其他人則看到是倒轉(圖1d)。

馬車車輪的例子


這兩種方向都可以看做是正確的方向，取決於您如何“看”chelun，danwomenzhidaoyijingfashenglexinhaohundie。yejiushishuo
，xitongzhongchuxianleyouhaidepinlvchengfen
，womenbunengjiangqiyuzhenshizhiqufenkai

，tongshichuxianlezhengzhuanhedaozhuandeyundongxinxi。womenyibankandaodaozhuanchengfenhuozhengzhuanchengfende“約數”或“鏡像”。由於是眼/腦相結合的方式處理數據,yinciwomenbingbunengchajiaodaochelunqianzhuandezhuyaoxinxi。lingyizhongyouyisidexianxiangshicaiyanglvyuchelunzhuansuyangexiangdengshi，youyubiaojishizhongchuxianzaichelundexiangtongweizhi，suoyishujujihumeiyoutigongyouyongxinxi。zaizhezhongqingkuangxia
，meiyourennengqingchuchelunzaizhuandonghaishijingzhi。

現在轉入數學領域，假設車輪為單位圓，采用正弦和餘弦坐標。如果在餘弦值的正向和負向峰值采樣(180度錯相)，那(na)麼(me)就(jiu)滿(man)足(zu)奈(nai)奎(kui)斯(si)特(te)條(tiao)件(jian)
，能(neng)夠(gou)利(li)用(yong)兩(liang)個(ge)采(cai)樣(yang)數(shu)據(ju)點(dian)重(zhong)構(gou)原(yuan)始(shi)餘(yu)弦(xian)值(zhi)。所(suo)以(yi)，奈(nai)奎(kui)斯(si)特(te)極(ji)限(xian)是(shi)重(zhong)構(gou)原(yuan)始(shi)信(xin)號(hao)的(de)關(guan)鍵(jian)。當(dang)增(zeng)加(jia)的(de)點(dian)越(yue)來(lai)越(yue)多(duo)時(shi)
，複(fu)現(xian)原(yuan)始(shi)信(xin)號(hao)的(de)能(neng)力(li)就(jiu)提(ti)高(gao)了(le)。

轉到頻域，圖2所示為采樣數據係統的頻率響應。注意，數據在采樣率的倍數處重複(原始信號的“鏡像”)；這是采樣數據係統的一種基本特征。圖2a中，滿足奈奎斯特條件，有用頻帶內沒有混疊現象。然而，在圖2b中
，由於有用頻帶內的最高頻率大於二分之一采樣率，不再滿足奈奎斯特條件。重疊的區域發生了混疊
；頻率為fT的信號也出現在fT\\\\\\\''處，與馬車車輪的混疊相似。


欠采樣

欠采樣是一種功能強大的工具
，可有效用於所選應用。欠采樣允許ADC作為一個混頻器，能夠接收調製高頻載波信號並產生較低頻率的鏡像。這種方式下，就像下變頻器。另一種主要優點是允許ADC的采樣率低於奈奎斯特頻率，一般具有較明顯的成本優勢。例如，假設調製載波為10MHz，帶寬為100kHz(±50kHz
，中心頻率為10MHz)。以4MHz進行欠采樣，產生1階和與差項(f1+f2和f1-f2)，分別為14MHz和6Mz
；2階項(2f1、2f2、2f1+f2、f1+2f2、|2f1-f2|、|f1-2f2|)，分別為8MHz
、20MHz、18MHz
、2MHz、24MHz和16MHz。出現在2MHz處的鏡像信號為有用信號。注意，我們的原始信號在10MHz
，通過對其進行數字化在2MHz產生了鏡像。現在，我們可以在數字域進行信號處理(濾波和混頻)，恢複原始50kHz信xin號hao。該gai過guo程cheng無wu需xu大da幅fu的de模mo擬ni處chu理li，這zhe是shi其qi主zhu要yao優you勢shi之zhi一yi。由you於yu所suo有you處chu理li都dou在zai數shu字zi域yu完wan成cheng，如ru果guo需xu要yao對dui電dian路lu的de性xing能neng和he特te性xing進jin行xing更geng改gai

，隻zhi需xu修xiu改gai軟ruan件jian即ji可ke。相xiang對dui而er言yan，對dui於yu模mo擬ni設she計ji，如ru果guo需xu要yao更geng改gai電dian路lu性xing能neng，需xu要yao改gai變bian電dian路lu硬ying件jian元yuan件jian和he布bu局ju，並bing且qie成cheng本ben相xiang當dang高gao。
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欠采樣的一項缺點是有用頻帶內可能出現有害信號，您不能將其與有用信號區分開。此外
，欠采樣時，ADC輸入的頻率範圍往往非常寬。在上例中，即使采樣率為4MHz，ADC前端仍然必須采樣10MHz信號。相對而言
，如果在ADC之前利用模擬混頻器將調製載波信號向下搬移到基帶
，那麼ADC的輸入帶寬隻需要為50kHz
，而非4MHz，降低了ADC前端和輸入濾波要求。


過采樣

過采樣提供所謂的處理增益。在過采樣時，以較高采樣頻率獲得多出實際需要的采樣數量，然後對數據濾波
，從而有效降低係統的噪底(假設噪聲為寬帶白噪聲)。這不同於平均
，後者是獲取很多采樣，噪聲被平均。可以這麼理解過采樣：如果輸入信號來自於掃描頻率的信號源，頻譜則可以分為多個範圍或“容器”，每mei個ge容rong器qi的de帶dai寬kuan固gu定ding。寬kuan帶dai噪zao聲sheng分fen散san在zai整zheng個ge有you用yong頻pin率lv範fan圍wei內nei，所suo以yi每mei個ge容rong器qi具ju有you特te定ding量liang的de噪zao聲sheng。現xian在zai
，如ru果guo提ti高gao采cai樣yang率lv，那na麼me頻pin率lv容rong器qi的de數shu量liang也ye增zeng多duo。在zai這zhe種zhong情qing況kuang下xia
，出chu現xian的de噪zao聲sheng量liang仍reng相xiang同tong，但dan我wo們men有you更geng多duo的de容rong器qi可ke供gong容rong納na噪zao聲sheng。然ran後hou我wo們men利li用yong濾lv波bo器qi濾lv除chu超chao出chu有you用yong頻pin帶dai的de噪zao聲sheng。結jie果guo就jiu是shi每mei個ge容rong器qi的de噪zao聲sheng減jian少shao，所suo以yi就jiu通tong過guo過guo采cai樣yang有you效xiao降jiang低di了le係xi統tong的de噪zao底di。

舉例說明，如果我們有一個2kspsADC(下式中使用1kHz奈奎斯特極限)和1kHz信號，ADC之後為1kHz數字濾波器，處理增益由下式給出：-10×log(1kHz/1kHz)=0dB。如果們將采樣率增大至10ksps，處理增益現在為-10×log(1kHz/5kHz)=7dB
，或者說大約1位分辨率(1位大約相當於信噪比(SNR)提高6dB)。通過過采樣，噪聲沒有減少
，而是分散在更寬的帶寬內；將部分噪聲置於有用帶寬範圍之外
，效果就相當於減少了噪聲。這種噪聲改善基於以下公式：

SNR改善(dB)=10×LOGA/B，其中A等於噪聲
，B等於過采樣噪聲。

表述這一過程的另一種方式是：過采樣降低了帶內RMS量化噪聲，係數為過采樣率的平方根。或者
，如果噪聲降低二分之一，則相當於3dB有效處理增益。不要忘了，我們這裏僅討論了寬帶噪聲。過采樣不能簡單消除其它噪聲源和其他誤差。

抗混疊濾波器

有了以上背景知識後，我們現在討論抗混疊濾波器。在選擇濾波器時，目標是提供一個截止頻率，能從ADCshuruzhongxiaochuyouhaixinhaohuozhishaojiangqishuaijianzhibuduidianluxingchengfumianyingxiang。kanghundielvboqishimanzuzheyiyaoqiudeditonglvboqi。ruhexuanzezhengquedelvboqi？xuyaokaolvdeguanjiancanshushizaitongdaineideshuaijianliang(或紋波)

、阻帶內的預期濾波器滾降
、過渡區域的陡度，以及不同頻率通過濾波器時的相位關係(圖4a)。


理想濾波器具有“磚牆”響應(圖4b)
，也就是說其過渡比是無限大的。然而

，在實際應用中不可能存在這種情況。滾降越陡，濾波器的“Q”或品質因子越高
；Q因子越高
，濾波器的設計就越複雜。較高的Qyinzihuizaochenglvboqibuwendingyijizaixiangyingdeguaidianpinlvxiazizhen。xuanzelvboqideguanjianshilejieganraoxinhaodepinlvjiduiyingfuzhi。liru，duiyushouji，shejizhezhidaolinjinxinhaodezuichagongzuotiaojianfuzhiheweizhi，congeryouzhenduixingdijinxingsheji。bingbushisuoyouxinhaodounengzaipinyuyuce，shenzhiyouxieyizhiganraoxinhaotaida，bunengzugoudishuaijian。danshi
，genjuhuanjingheyingyong，ninkekaolvyizhiganraohesheji
，zuidachengdujiangdisuijiganrao
，quebaogongzuogengkekao。


已知有用信號頻率後，利用簡單的濾波程序確定所需的濾波器結構，以滿足通帶
、阻帶和過渡區域要求。在四種基本濾波器類型中，每種都有其各自的優勢(圖5)。

圖5.四種基本的濾波器類型

例如，巴特沃斯(Butterworth)濾波器的通帶區域最平坦，意味著在相應頻率範圍內的衰減最小
；貝塞爾(Bessel)濾波器的滾降較平緩
，但其主要優勢是線性相位響應，意味著每種頻率成分在通過濾波器時的延時是相等的；由於群延遲定義為相位響應相對於頻率的偏差
，所以線性相位響應通常指的是固定群延遲。切比雪夫(Chebyshev)濾波器的滾降較陡
，但在通帶內紋波較大。橢圓(Elliptic)濾波器的滾降最陡。對於最簡單的抗混疊濾波器
，簡單的單極點無源RC濾波器往往是可以接受的。在其它情況下，有源濾波器(即使用運放)比較合適。有源濾波器的一項優勢是多階濾波器，濾波器對外部元件值不太敏感，特別是濾波器的“Q”值。

抗kang混hun疊die濾lv波bo器qi通tong常chang不bu必bi嚴yan格ge對dui應ying拐guai點dian頻pin率lv的de位wei置zhi，所suo以yi設she計ji時shi具ju有you一yi定ding餘yu地di。例li如ru，如ru果guo您nin需xu要yao最zui大da平ping坦tan度du
，但dan在zai通tong帶dai內nei仍reng然ran有you太tai大da衰shuai減jian，隻zhi需xu將jiang拐guai點dian頻pin率lv移yi遠yuan即ji可ke解jie決jue問wen題ti。如ru果guo阻zu帶dai衰shuai減jian太tai小xiao，則ze可ke提ti高gao濾lv波bo器qi的de極ji點dian數shu。另ling一yi種zhong方fang案an是shi在zai濾lv波bo後hou將jiang信xin號hao放fang大da，提ti高gao信xin號hao相xiang對dui於yu有you害hai信xin號hao的de幅fu值zhi。

Maxim具有多種低功耗、低通濾波器可供選擇
，可用於抗混疊；其中包括MAX7490(＄4.1371)通用開關電容濾波器、MAX740x/MAX741x家族尺寸最小的低功耗低通開關電容濾波器，以及MAX274(＄6.6953)/MAX275(＄1.3342)通用連續時間方式濾波器。Maxim也提供豐富的低功耗高精度運放，適用於希望自己設計濾波器的用戶。

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