為什麼要學習波特圖呢？

波(bo)特(te)圖(tu)將(jiang)傳(chuan)輸(shu)函(han)數(shu)和(he)頻(pin)率(lv)響(xiang)應(ying)定(ding)性(xing)的(de)聯(lian)係(xi)起(qi)來(lai)了(le)
，通(tong)過(guo)波(bo)特(te)圖(tu)的(de)繪(hui)製(zhi)，可(ke)以(yi)了(le)解(jie)極(ji)點(dian)和(he)零(ling)點(dian)是(shi)怎(zen)麼(me)影(ying)響(xiang)頻(pin)率(lv)響(xiang)應(ying)的(de)幅(fu)度(du)和(he)相(xiang)位(wei)，進(jin)而(er)影(ying)響(xiang)電(dian)路(lu)的(de)性(xing)能(neng)。

換成人話
，可以這樣說。

什麼是波特圖？

波特圖也是根據人名命名的，它是出自貝爾實驗室，由荷蘭裔科學家 Hendrik Wade Bode在1930年發明的。Bode當時需要設計用於電話網絡的放大器
，放大器帶有負反饋。為了能夠快速了解放大器保持絕對穩定所需的增益裕度和相位裕度，Bode開發了波特圖。

假設一係統為線性時不變係統，傳輸函數為H(s)。則波特圖有兩副圖，幅頻圖和相頻圖，分別對應增益和相位。

幅頻圖是|H(s=jw)|隨頻率的函數，其橫軸為頻率，用對數尺度表示；縱軸為功率的dB值
，即20log10|H|。

相頻圖是arg(H(s=jw))隨頻率的函數，其橫軸為頻率
，用對數尺度表示；縱軸的單位一般為度，為線性值。

怎麼畫波特圖？

畫幅頻圖時
，遵循以下規則：

(1) 當頻率w經過極點時，|H(jw)|的斜率變為-20dB/dec，也就是以頻率變化10倍，|H(jw)|變小20dB;

(2) 當頻率w經過零點時，|H(jw)|的斜率變為20dB/dec
，也就是以頻率變化10倍，|H(jw)|變大20dB;

(3) 圖在起始點時的增益值
，可以計算頻率的下限值對應的|H(jw)|；

如果零點沒有在原點處的時候，可以將w=0代入|H(jw)|,計算其在DC處的增益
；

如果有零點處在原點處，則可以選擇一個靠近w=0的值
，比如說w=1作為|H(jw)|的初始值。零點在原點，即w=0時，|H(jw)|=0
，因為縱軸是對數值，所以不可能在圖中包括|H(jw)|=0的值。

(4) 圖在起始點的斜率
，取決於在w小於起始點處零點和極點的個數，然後按照(1)和(2)的規則計算；如果在w小於起始點處無零點和極點，則初始斜率為0。

畫相頻圖時
，遵循以下規則:

(1) 假設極點為wp,即其則曲線在0.1wp處開始變化，在wp處變化-45度，在10wp處變化接近於-90度。

(2) 假設零點為wz,則曲線在0.1wz處開始變化，在wz處變化45度，在10wz處變化接近於90度。

看到電路

，快速畫出波特圖，了解係統的穩定性

當K等於0時，沒有反饋
，此時係統為開環係統；

當K不等於0時

，此時係統為閉環係統。

其中，KH(s)稱為環路增益。

由上麵等式可知，當KH(jw)=-1時，Y/X-->無窮大
，即使X很小很小，也會導致很大的Y輸出
，即係統處於振蕩狀態，不穩定。

所以為了保證係統穩定
，需要在任何頻率處都不能滿足KH(jw)=-1的條件，即|KH(jw)|=1&arg(H(jw))=-180度。

那如果是|KH(jw)|>1&arg(H(jw))=180度呢？

因為每經過一次環路，信號都會被進一步放大，因為反相

，所以疊加出來的信號會變得越來越大。

所以當

|KH(jw)|>=1

arg(KH(jw))=180度，

係統都處於一個不穩定的狀態。

用圖形示意，可能會比較直觀。

增益等於0dB對應的頻率
，稱為gain crossover frequency.

相位等於-180度對應的頻率，稱為phase crossover frequency.

若係統穩定
，則要求gain crossover frequency<phase crossover frequency.

舉兩個例子，解釋一下，如何從電路到波特圖
，再分析係統的穩定性。

所以，如果電路隻包含一個極點的話
，那麼這個係統肯定是穩定的。

可以看到，係統中相應部件對最後波特圖的影響
，比如說，原來係統處於不穩定的狀態，但是當降低K的值時，係統則會變穩定。

增益裕度和相位裕度

增益裕度和相位裕度都是衡量係統穩定程度的方法。

在相位圖上
，找到相位達到-180度時對應的頻率
，然後計算該頻率對應的幅度值。如果|KH(jw)|180>=1，則該係統不穩定
；如果|KH(jw)|180<1,則係統穩定。

在波特增益圖上
，找到|KH(jw)|=1的頻率，稱為w0dB
，然後找到該頻率下KH(jw)w0dB的相位。

如KH(jw)w0dB的相位大於-180度，則係統穩定。

KH(jw)w0dB的相位與-180度之間的差，稱為相位裕度。

一般取相位裕度為60度左右，此時任務係統處於一比較好的穩定狀態。

不想自己手工畫波特圖，怎麼辦

？

計算機已如此普及，當然可以不用手工畫啦。matlab中有現成的函數。

還有什麼可以用到波特圖呢？

當環路濾波器隻有一個電容時，如下圖所示。

可以看到環路中隻有兩個零極點
，所以相位圖為接近-180度的一條直線
，因此其總相位裕度基本為0，表麵這個鎖相環是不穩定的。

解決問題的一個辦法是給電容加入一個串聯電阻R
，這樣就引入了一個零點，從而對環路進行相位補償。

在(zai)實(shi)際(ji)的(de)應(ying)用(yong)中(zhong)，需(xu)要(yao)額(e)外(wai)增(zeng)加(jia)電(dian)阻(zu)電(dian)容(rong)低(di)通(tong)濾(lv)波(bo)器(qi)，以(yi)濾(lv)掉(diao)一(yi)些(xie)高(gao)頻(pin)噪(zao)聲(sheng)和(he)電(dian)壓(ya)波(bo)動(dong)。其(qi)中(zhong)最(zui)簡(jian)單(dan)的(de)一(yi)種(zhong)是(shi)在(zai)上(shang)述(shu)電(dian)容(rong)電(dian)阻(zu)兩(liang)端(duan)再(zai)加(jia)一(yi)個(ge)電(dian)容(rong)C1
，通常C1遠小於積分電容C0，如下圖所示。

這就是我們常用的環路濾波器的結構。

參考文獻：

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