運算放大器的噪聲模型與頻譜密度曲線

 

除了寬帶噪聲之外，運算放大器常還有低頻噪聲區，該區的頻譜密度圖並不平坦。這種噪聲稱作 1/f 噪聲，或閃爍噪聲
，或低頻噪聲。通常說來，1/f 噪聲的功率譜以 1/f 的速率下降。這就是說，電壓譜會以 1/f（1/2 ） 的速率下降。不過實際上，1/f 函數的指數會略有偏差。圖 2.1 顯示了典型運算放大器在 1/f 區及寬帶區的頻譜情況。請注意
，頻譜密度圖還顯示了電流噪聲情況（單位為 fA/rt-Hz）。

 

我們還應注意到另一點重要的情況
，即 1/f 噪聲還能用正態分布曲線表示
，因此   部分中介紹的數學原理仍然適用。圖 2.2 顯示了1/f 噪聲的時域情況。請注意

，本圖的 X 軸單位為秒
，隨時間發生較慢變化是1/f 噪聲的典型特征。

 

圖 2.2：時域所對應的 1/f 噪聲及統計學分析結果

 

圖 2.3 描miao述shu了le運yun算suan放fang大da器qi噪zao聲sheng的de標biao準zhun模mo型xing，其qi包bao括kuo兩liang個ge不bu相xiang關guan的de電dian流liu噪zao聲sheng源yuan與yu一yi個ge電dian壓ya噪zao聲sheng源yuan，連lian接jie於yu運yun算suan放fang大da器qi的de輸shu入ru端duan。我wo們men可ke將jiang電dian壓ya噪zao聲sheng源yuan視shi為wei隨sui時shi間jian變bian化hua的de輸shu入ru偏pian移yi電dian壓ya分fen量liang

，而er電dian流liu噪zao聲sheng源yuan則ze可ke視shi為wei隨sui時shi間jian變bian化hua的de偏pian置zhi電dian流liu分fen量liang。

 

圖 2.3：運算放大器的噪聲模型

 

運算放大器噪聲分析方法

 

運算放大器噪聲分析方法是根據運放數據表上的數據計算出運放電路峰峰值輸出噪聲。在介紹有關方法的時候，我們所用的算式適用於   jiandandeyunsuanfangdaqidianlu。jiugengfuzadedianlueryan
，zhexiesuanshiyeyouzhuyuwomendazhilejiekeyujiandezaoshengshuchuqingkuang。womenyekezhenduizhexiegengfuzadedianlutigongjiaozhunquedejisuangongshi，danqizhongshejideshuxuejisuanjianggengweifuza。duigengfuzadedianlueryan
，huoxuwomen   應采用三步走的辦法。首先，用算式進行粗略的估算；然後
，采用 spice 仿真程序進行更準確的估算；   通過測量來確認結果。

 

我們將以 TI OPA277 的簡單非反向放大器為例來說明有關電路的情況（見圖 2.4）。我們的目標是測定峰峰值輸出噪聲。為了實現這一目的，我們應考慮運算放大器的電流噪聲
、電dian壓ya噪zao聲sheng以yi及ji電dian阻zu熱re噪zao聲sheng。我wo們men將jiang根gen據ju產chan品pin說shuo明ming書shu中zhong的de頻pin譜pu密mi度du曲qu線xian來lai確que定ding上shang述shu噪zao聲sheng源yuan的de大da小xiao。此ci外wai，我wo們men還hai要yao考kao慮lv電dian路lu增zeng益yi與yu帶dai寬kuan問wen題ti。

 

圖 2.4：噪聲分析電路示例

 

首shou先xian
，我wo們men應ying了le解jie如ru何he將jiang噪zao聲sheng頻pin譜pu密mi度du曲qu線xian轉zhuan換huan為wei噪zao聲sheng源yuan。為wei了le實shi現xian這zhe一yi目mu的de
，我wo們men需xu進jin行xing微wei積ji分fen運yun算suan。簡jian單dan提ti醒xing一yi句ju
，積ji分fen函han數shu確que定ding曲qu線xian下xia方fang的de麵mian積ji。圖tu 2.5 顯示，我們隻須將長寬相乘（即矩形區域麵積），便能獲得常數函數的積分。這種轉換頻譜密度曲線為噪聲源的關係比較簡單。

 

圖 2.5：通過積分計算曲線下方麵積

 

人ren們men通tong常chang會hui說shuo
，隻zhi有you將jiang電dian壓ya頻pin譜pu密mi度du曲qu線xian進jin行xing積ji分fen計ji算suan，才cai能neng得de到dao總zong噪zao聲sheng值zhi。事shi實shi上shang

，我wo們men必bi須xu對dui功gong率lv譜pu密mi度du曲qu線xian進jin行xing積ji分fen計ji算suan。該gai曲qu線xian實shi際ji反fan映ying的de是shi電dian壓ya或huo電dian流liu頻pin譜pu密mi度du的de平ping方fang（請記住：P = V2/R 且 P=I2R）。圖 2.6 顯示了對電壓頻譜密度曲線進行積分計算所得的奇怪結果。圖 2.7 顯示，您可將功率譜密度進行積分計算，再通過求結果的平方根將其轉換回電壓。請注意
，我們由此可獲得合理結果。

 

圖 2.6：計算噪聲的不正確方法

 

圖 2.7：計算噪聲的正確方法

 

通過對電壓與電流頻譜的功率譜密度曲線進行積分計算，我們可得到運算放大器模型信號源的 RMS 幅度（圖 2.3）。不過
，頻譜密度曲線將分布在 1/f 區與帶低通濾波器的寬帶區（見圖 2.8）。如計算上述兩個區域的總噪聲，我們要采用微積分計算推導出的算式。再根據   部分所討論的處理非相關信號源的方法，對上述兩個計算的結果做和的平方根 （RSS） 運算，對應   部分中提到的非相關信號源。

 

首(shou)先(xian)，我(wo)們(men)要(yao)對(dui)帶(dai)低(di)通(tong)濾(lv)波(bo)器(qi)的(de)寬(kuan)帶(dai)區(qu)域(yu)進(jin)行(xing)積(ji)分(fen)計(ji)算(suan)。理(li)想(xiang)情(qing)況(kuang)下(xia)
，曲(qu)線(xian)的(de)低(di)通(tong)濾(lv)波(bo)器(qi)部(bu)分(fen)是(shi)一(yi)條(tiao)縱(zong)向(xiang)直(zhi)線(xian)，我(wo)們(men)稱(cheng)之(zhi)為(wei)磚(zhuan)牆(qiang)式(shi)濾(lv)波(bo)器(qi) （brick wall filter）。由(you)於(yu)磚(zhuan)牆(qiang)式(shi)濾(lv)波(bo)器(qi)情(qing)況(kuang)下(xia)的(de)曲(qu)線(xian)下(xia)方(fang)區(qu)域(yu)為(wei)矩(ju)形(xing)
，因(yin)此(ci)這(zhe)一(yi)區(qu)域(yu)的(de)問(wen)題(ti)比(bi)較(jiao)好(hao)解(jie)決(jue)，長(chang)乘(cheng)寬(kuan)即(ji)可(ke)。在(zai)實(shi)際(ji)情(qing)況(kuang)下(xia)，我(wo)們(men)不(bu)能(neng)實(shi)現(xian)磚(zhuan)牆(qiang)式(shi)濾(lv)波(bo)器(qi)。不(bu)過(guo)，我(wo)們(men)可(ke)用(yong)一(yi)組(zu)常(chang)量(liang)來(lai)將(jiang)實(shi)際(ji)情(qing)況(kuang)下(xia)的(de)濾(lv)波(bo)器(qi)帶(dai)寬(kuan)轉(zhuan)換(huan)為(wei)等(deng)效(xiao)的(de)磚(zhuan)牆(qiang)式(shi)濾(lv)波(bo)器(qi)帶(dai)寬(kuan)，以(yi)滿(man)足(zu)噪(zao)聲(sheng)計(ji)算(suan)的(de)需(xu)要(yao)。圖(tu) 2.9 將理論磚牆式濾波器與一階
、二階及三階濾波器進行了對比。

 

圖 2.8：帶濾波器的寬帶區

 

圖 2.9：磚牆式濾波器與實際濾波器相比較

 

我們可用方程式 2.2 用於轉換實際濾波器或做磚牆式濾波器等效。表 2.1 列出了各階濾波器的換算係數 （Kn）。舉例來說，一階濾波器帶寬乘以 1.57 即為磚牆式濾波器帶寬。調節後的帶寬有時也稱作噪聲帶寬。請注意
，換算係數隨著濾波器階數的提升將越來越接近於1。換言之
，濾波器階數越高，就越接近於磚牆式濾波器。

 

 

既ji然ran我wo們men有you了le將jiang實shi際ji濾lv波bo器qi轉zhuan換huan為wei磚zhuan牆qiang式shi濾lv波bo器qi的de算suan式shi
，那na麼me我wo們men就jiu能neng很hen方fang便bian地di進jin行xing功gong率lv頻pin譜pu的de積ji分fen運yun算suan了le。請qing記ji住zhu，功gong率lv的de積ji分fen運yun算suan為wei電dian壓ya頻pin譜pu的de平ping方fang。我wo們men需xu將jiang積ji分fen結jie果guo進jin行xing平ping方fang根gen運yun算suan轉zhuan換huan回hui電dian壓ya。方fang程cheng式shi 2.3 即由此得出（見附錄 2.1）。因此，根據產品說明書中的數據套用方程式 2.2 、方程式 2.3便可計算出寬帶噪聲。

 

方程式 2.3：寬帶噪聲方程式

 

我們需記住，我們的目標是測定圖 2.3 中噪聲源 Vn 的幅度。該噪聲源包括寬帶噪聲與 1/f 噪聲。我們用方程式 2.2 與 2.3 可計算出寬帶噪聲。現在我們應計算 1/f 噪聲
，這就需求對噪聲頻率密度圖 1/f 區域的功率頻譜進行積分計算（如圖 2.10所示）。我們可用方程式 2.4 和 2.5 獲得有關積分結果。方程式 2.4 將 1/f 區的噪聲測量結果歸一化為 1Hz 時的噪聲。某些情況下
，我們可從圖中直接讀出該數值，有時用方程式更方便求得（見圖 2.11）。方程式2.5用歸一化噪聲、上部噪聲帶寬與下部噪聲帶寬來計算 1/f 噪聲。附錄 2.2 給出了整個演算過程。

 

在考慮 1/f 噪聲時
，我們必須選擇低頻截止點。這是因為 1/f 函數分母為零時無意義（即 1/0 無意義）。事實上，理論上 0 赫茲時噪聲趨近於無窮。但我們應當考慮到，頻率極低時
，其相應的時間也非常長。舉例來說，0.1Hz 對應於 10 秒，而 0.001Hz則對應於 1000 秒。對極低的頻率而言
，對應的時間有可能為數年（如 10nHz 對應於 3 年）。pinlvjiangeyueda，jifenjisuansuodedezaoshengjiuyueda。buguowomenyeyaojizhu
，jidipinzaoshengjiancexuyaohenchangshijian。womenzaiyihoudewenzhangzhongjianggengxiangxiditantaociwenti。muqian，womenzanqiejizhuzheyidian，1/f 計算時通常用 0.1Hz 作為低頻截止點。

 

既然我們已得到了寬帶與 1/f 噪聲的幅度，現在就用   部分給出的無相關噪聲源算式來疊加噪聲源 （見如下方程式 2.6 與本係列文章的   部分中的方程式 1.8）。

 

工程師考慮分析方法時通常會擔心

，1/f 噪聲與寬帶噪聲是否應在兩個不同的區域進行積分計算。換言之，他們認為，由於 1/f 噪聲與寬帶噪聲相加後會超出 1/f 區域，從而出現錯誤。實際上，1/f 區域與寬帶區域一樣，都涵蓋所有頻率。我們必須記住，當噪聲頻譜顯示在對數圖上，1/f 區在降至寬帶曲線以下後影響極小。兩條曲線結合明顯的   區域就在 1/f 半功率頻點處。在此區域中，我們看到兩區域結合部的情況與數學模型相同。圖 2.12 顯示了兩區實際重疊的情況
，並給出了相應的幅度。

 

現(xian)在(zai)，我(wo)們(men)已(yi)得(de)到(dao)了(le)將(jiang)噪(zao)聲(sheng)頻(pin)譜(pu)密(mi)度(du)曲(qu)線(xian)轉(zhuan)換(huan)為(wei)噪(zao)聲(sheng)源(yuan)所(suo)需(xu)的(de)全(quan)部(bu)方(fang)程(cheng)式(shi)。請(qing)注(zhu)意(yi)，現(xian)在(zai)我(wo)們(men)已(yi)推(tui)算(suan)出(chu)了(le)電(dian)壓(ya)噪(zao)聲(sheng)所(suo)需(xu)的(de)方(fang)程(cheng)式(shi)，不(bu)過(guo)相(xiang)同(tong)的(de)方(fang)法(fa)也(ye)可(ke)運(yun)用(yong)於(yu)電(dian)流(liu)噪(zao)聲(sheng)的(de)計(ji)算(suan)。在(zai)本(ben)係(xi)列(lie)隨(sui)後(hou)的(de)文(wen)章(zhang)中(zhong)
，我(wo)們(men)將(jiang)討(tao)論(lun)用(yong)有(you)關(guan)方(fang)程(cheng)式(shi)來(lai)解(jie)決(jue)運(yun)算(suan)放(fang)大(da)器(qi)電(dian)流(liu)的(de)噪(zao)聲(sheng)分(fen)析(xi)問(wen)題(ti)。